一、关系代数介绍

①引言
很多非科班出身的朋友会感到疑惑，为什么学着学者数据库，就突然来了一堆数学运算符呢？读完本篇文章，你会将关系代数与数据库的关系在脑子中形成一个联系，起到抛砖引玉的作用（当然也全是干货）。

②关系代数的概念
关系代数是一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询。

任何运算的三大基本要素都是运算对象、运算符、运算结果。关系代数运算对象是关系，运算结果也是关系。

如果你没有接触过这方面的内容，读到这里你肯定会产生一个疑惑，什么是关系？

下面说明关系相关概念，以及其与关系型数据库（典型代表为MySql）的联系：

  • 关系可以理解为关系型数据库的一个table
  • 关系的目可以理解为关系型数据库的一列
  • 关系的某个目的某个元组可以理解为关系型数据库某个列的某个值

③关系代数的分类
关系代数可以分为集合运算和关系运算两类。
集合运算：

集合运算符含义
∪并
∩交
−差
×笛卡尔积

关系运算：

关系运算符含义
σ选择
Π投影
140a2bed4e3d4403973b8936a5ea4def.png连接
÷除

下面将分别介绍两类运算。

二、集合运算

前三项并、交、差运算均有一个大前提：两个关系具有相同的目————也即两个table的属性完全相同。

假设R与S为两个目相同的关系，则它们之间有如下关系：

①并∪

R∪S的结果为R中元组与S中元组的并，如图（图中R的A1应为小写a1）：R∪S包含了R与S中的所有元组。
20170311210114252.png

②交∩

R∩S的结果为R与S的共有元组，如图：红蓝两行为共有。
20170311214944646.png

③差−

R−S的结果为，R中有但S中没有的元组，如图：只有R中黑色的行，在S中没有。
20170311214625267.png

④笛卡尔积×

千万别被笛卡尔积吓到，它的结果其实就是：把R的目与S的目拼接，且元素一一匹配拼接，看图就懂了：
20170311215125320.png

  • 笛卡尔积是不要求目数相同的，若R为n目x元组、S为m目y元组，则R×S为（n+m）目x*y元组。

三、关系运算

  • 首先介绍R(X, Z)表示法：R为关系，X和Z为R的两个目。

①象集

在一个关系R(X, Z)中，x1的象集Zx1是指一个集合，集合中的元素是Z的元组，且那一行X的元组为x1。举例说明：下表表示关系R

XZ
x1z2
x1z3
x1z1
x2z2
x2z3

则x1的象集Zx1={z1, z2, z3}。

②选择σ

选择又称为限制（restriction）它是在关系R中选择满足给定条件的诸元组，记作：
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其中F表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”
选择运算实际上是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组。

选择结果为一行或多行：即根据某些条件挑选出即行。

设有一个学生-课程库，包括学生关系student、课程关系course和选修关系selectedcourse如图：
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那么以下就为选择的一个例子：

  • 查询课程名为数学的课程信息
SELECT * FROM course
WHERE course_name = '数学';
  • 其关系代数表示为：ba0765f0b8c74a9a9d5c9117b0bde1fa.png
  • 结果为：
    0ff8e5bd9f5d49b499b6dcbcba95dac3.png

③投影Π

关系R上的投影是从关系R中选择出若干属性列组成新的属性。记作：
581e92e577704655856e22fa6288f958.png
其中A为R中的属性列。

投影操作是从列的角度进行的运算。

以下为投影的一个例子：

  • 查询学生的姓名和所选课程号
SELECT student_id, course_id FROM selectedcourse;
  • 其关系代数表示为：2ba6d6d4671a46eb82322bc97f395065.png
  • 结果为：
    a2e493645f484e459b1059fb925d5495.png

④连接140a2bed4e3d4403973b8936a5ea4def.png

连接也称为θ连接。它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。记作：
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其中，A和B分别为R和S上列数相等且可比的属性组，θ是比较运算符。连接运算符从R和S的笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组。

连接运算中有两组最为重要和常用的连接，即等值连接和自然连接
θ为“=”的连接运算为等值连接。它是从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为：
d5566397ae3c4e4f8e90bbd04780ef8c.png

自然连接是一种特殊的等值连接。它要求两个关系中进行比较的分量必须是同名的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉，若R和S中具有相同的属性组B，U是全体集合，自然连接可记作：
bb54e57c5a334ff58256949bd848b5b6.png
（未完待续 2022/4/28）

参考

https://blog.csdn.net/qq_35252878/article/details/61479635
https://blog.csdn.net/weixin_58587245/article/details/121949372

Q.E.D.

遇事不决，可问春风